Son un gran recurso en el cine de misterio y siempre que hay que resolver un enigma la solución pasa por los números primos.

Pero dejando de lado la ficción, se trata de unos números muy especiales en las ciencias exactas, y la razón de su existencia a sido siempre un quebradero de cabeza para los matemáticos. 

La definición matemática nos dice que; dentro de los números naturales, son todos aquellos que no se pueden dividir por ningún número excepto por 1 y por él mismo. 

Aquí tenemos algunos de ellos:

2,3,5,7,11,13…

El resto de los números naturales se llaman números compuestos, ya que todos ellos se pueden obtener multiplicando dos o más números primos. Es decir, que se pueden dividir como mínimo por un número primo obteniendo una división exacta.

Por ejemplo, el número 36 es compuesto porque puede descomponerse como el producto de 2 x 13 (ambos números primos), o como 2 x 2 x 3 x 3 (primos igualmente).

Existe un caso especial, el número 1, que, por convenio matemático, no se considera ni primo ni compuesto.

¿Y qué hace tan particulares a los números primos? 

Como hemos comentado, son números únicos, y lo son hasta el punto que se les considera «los arquitectos» de las matemáticas y en ellos están basados todos los teoremas y algoritmos.

Por lo que sabemos hasta ahora, aparecen regularmente entre los números enteros positivos desde el cero hasta el infinito, pero lo hacen sin seguir ningún patrón, y el hecho de que vayan apareciendo forma aleatoria los hace todavía más complicados de comprender.

Se conocen, sin embargo, desde hace muchísimo tiempo, como mínimo desde el año 300 a.C.

El primer personaje importante que nos habló de los números primos fue Euclides (330 a.C. – 275 a.C.), unos de los grandes matemáticos de la Antigüedad.

Euclides fue el primero que demostró que los números primos con infinitos, y lo hizo en su libro Elementos, una de las grandes obras clásicas sobre las matemáticas.

Lo hizo de una manera muy sencilla, utilizando metodología de la reducción al absurdo (Reductio ad absurdum). 

Este método, la reducción al absurdo, consiste en partir de la premisa contraria a la que consideramos correcta y demostrar que es imposible. 

También se conoce como prueba de la contradicción.

Euclides creía que los números primos eran infinitos, por lo tanto, y siguiendo este método, partió de la premisa de que la lista de números primos era finita.

Al intentar demostrar esto llegó a una contradicción, demostrando así que la lista es infinita.

Veamos como fue la demostración de Euclides:

Imaginemos una lista que contiene una cantidad finita con todos los números primos que existen: P1, P2, P3, … Pn.

La premisa es que estamos dando por supuesto que existe un número concreto de números primos: n.

Está claro que podemos generar otro número cualquiera Q (mucho mayor que todos) y que según nuestra hipótesis no debería ser primo.

Lo generamos multiplicando todos ellos y sumándole 1:

Q = (P1 x P2 x P3 x … x Pn) + 1

Sumándole 1 al producto, nos aseguramos que no es divisible por ninguno de los números de la lista.

Según nuestra premisa inicial Q no puede ser primo, entonces:

Si no es primo significa que es un número compuesto, y si es compuesto significa que es divisible por algún número primo al que llamaremos G.

Sabemos que Q no es divisible por ningún número de la serie inicial de números primos, por lo que G tiene que ser un nuevo número primo que no pertenece a la lista.

Hemos reducido al absurdo la opción de que la lista de números primos es finita, demostrando a su vez que es infinita.

Siempre podríamos repetir este ejercicio añadiendo G en la lista inicial, y volveríamos a encontrar un nuevo número primo.

Queda demostrado, por tanto, que los números primos son una lista de número infinitos que aparecen de forma aleatoria a lo largo de toda la serie de los números enteros positivos. 

Y si no siguen ningún patrón, ¿cómo podemos localizar los números primos?

Parece sencillo si vamos cogiendo los números de uno en uno y vamos demostrando cuales no son divisibles por ningún otro número (excepto él mismo y 1), pero se convierte en una tarea muy complicada cuando hablamos de números más y más grandes.

Esto nos lleva a acordarnos del gran matemático griego Eratóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 a.C.).

Eratóstenes ideó un método muy sencillo para ir encontrando todos los números primos llamado la criba de Eratóstenes, que permite hallar todos los números primos entre 0 y un número «n» repitiendo 4 simples pasos. 

Pongamos, por ejemplo, que queremos encontrar todos los números primos que hay entre 0 y 18.

No incluiremos el uno ya que, como hemos dicho, es un número considerado aparte.

Los 4 pasos son los siguientes:

Paso 1.- Tenemos la lista completa de la cual queremos encontrar todos los primos: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

Paso 2.- En primer lugar, localizamos el primer número de la lista, en este caso el 2.

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

Paso 3.- A partir del número seleccionado, tacharemos todos los números múltiplos de dicho número.

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

Nos quedaremos con:

2,3,5,7,9,11,13,15,17

Paso 4.- Entonces cogemos el siguiente número que queda en la lista, en este caso el 3 y hacemos un pequeño cálculo.

Si su cuadrado es inferior al último número de la lista inicial, el 18, repetimos el proceso desde el paso 2.

Si es superior a 18, el algoritmo termina, y todos los enteros que nos han quedado sin eliminar son primos.

En este caso, como 3² = 9 < 18, volvemos al segundo paso.

Pasos 2 y 3.- Eliminamos los múltiplos de 3.

2,3,5,7,9,11,13,15,17

Nos quedaremos con:

2,3,5,7,11,13,17

Paso 4.- Cogemos el siguiente número, el 5. Volvemos a realizar el cálculo anterior y vemos que 5² = 25 > 18.

Por lo tanto, todos los números restantes de la lista son primos y tenemos todos los números primos existentes entre 0 y 18.

2,3,5,7,11,13,17

Aquí hemos utilizado el método con un número relativamente bajo, pero funcionaría exactamente igual con cualquier cantidad.

Como podemos ver ha pasado mucho tiempo desde el descubrimiento de los números primos, y en realidad poco más se ha avanzado después, pero las matemáticas serían imposibles sin ellos.

Y no solo se usan en las matemáticas teóricas. En criptografía se utilizan para crear los códigos secretos que protegen cuentas bancarias, y de manera más sorprendente los encontramos en la naturaleza, como por ejemplo en los ciclos reproductores de algunos insectos.